\int{syntaxe de base}
Syntaxe de base d'une intégrale
La commande \int est disponible dans le mode mathématique de base de LaTeX, mais il est fortement recommandé de charger amsmath : il corrige l'espacement, ajoute les commandes d'intégrales multiples et fournit l'espace fine \, généralement placée avant dx.
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
% Indefinite integral
\[ \int f(x)\,dx \]
% Definite integral
\[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx \]
% Definite integral evaluated
\[ \int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\bigg|_{0}^{1} = \frac{1}{3} \]
% Common antiderivatives
\[ \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan(x) + C \]
\[ \int e^{x}\,dx = e^{x} + C \]
\[ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \]
\end{document}Aucune borne spécifiée. Le résultat est une famille de primitives différant d'une constante C.
La borne inférieure a et la borne supérieure b sont placées respectivement sous et au-dessus du signe d'intégrale.
Use \infty from amsmath for infinite bounds. LaTeX renders the infinity symbol automatically.
Use \, before dx for a thin space (standard typographic convention in display math).
\section{Définie ou indéfinie}
Intégrales définies et indéfinies
La seule différence syntaxique est de fournir ou non les bornes inférieure _{a} et supérieure ^{b}. LaTeX les place sous et au-dessus du symbole d'intégrale en mode display.
Indéfinie
\int f(x)\,dx
Sans bornes. Renvoie une fonction plus une constante arbitraire C. Utilisée pour trouver des primitives.
Définie
\int_{a}^{b} f(x)\,dx
Évaluée entre a et b. Renvoie une valeur numérique égale à l'aire algébrique sous la courbe.
Impropre (bornes infinies)
\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx
One or both bounds are ±∞. Use \infty from amsmath. Convergence must be checked separately.
Barre d'évaluation
\bigg|_{0}^{1}
Typeset the evaluation bar after an antiderivative with \bigg| and the limits as a subscript/superscript pair.
\iint{intégration multiple}
Intégration multiple
Le paquet amsmath fournit \iint (double) et \iiint (triple) avec des signes d'intégrale correctement espacés. Pour les intégrales de surface fermée, ajoutez le paquet esint qui fournit \oiint et \oiiint.
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{esint} % oiint, oiiint
\begin{document}
% Double integral over domain D
\[ \iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy \]
% Triple integral over volume V
\[ \iiint_{V} \rho(x,y,z)\,dx\,dy\,dz \]
% Line integral (closed path)
\[ \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \]
% Closed surface integral (requires esint)
\[ \oiint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} \]
% Gaussian integral
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^{2}}\,dx = \sqrt{\pi} \]
% Physics: Boltzmann partition function
\[ Z = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\beta H(q,p)}\,dq\,dp \]
\end{document}\oint{intégrales de contour}
Intégrales de contour
Les intégrales sur chemin fermé utilisent un cercle superposé au signe d'intégrale pour indiquer une intégration le long d'une courbe ou d'une surface fermée. Toutes les commandes d'intégrales de contour acceptent la même syntaxe d'indice et d'exposant que \int.
Intégrale curviligne le long d'une courbe fermée. Commande de base d'amsmath, aucun paquet supplémentaire nécessaire.
Closed surface integral (double). Requires \usepackage{esint}. Used in Gauss's law.
Intégrale de volume fermé (triple). Nécessite esint. Utilisée pour les applications 3D du théorème de la divergence.
Intégrale de contour explicitement dans le sens horaire. Utile en analyse complexe pour préciser l'orientation.
Intégrale de contour dans le sens antihoraire. L'orientation positive (standard) en analyse complexe.
Variante de contour dans le sens horaire. Glyphe alternatif fourni par esint selon les préférences de style.
\limits{référence de placement}
Placement des bornes
LaTeX choisit automatiquement le placement des bornes selon le contexte : au-dessus et en dessous en mode display, sur le côté en mode en ligne. Vous pouvez le modifier avec \limits et \nolimits.
| Syntaxe | Placement |
|---|---|
| \int_{a}^{b} | Indice a en dessous, exposant b au-dessus |
| \int\limits_{a}^{b} | Force les bornes au-dessus et en dessous, même en mode en ligne |
| \int\nolimits_{a}^{b} | Force les bornes sur le côté (style en ligne), même en mode display |
| \displaystyle\int_{a}^{b} | Intégrale de taille display avec bornes dans le texte d'un paragraphe |
\section{Intégrales en physique}
Intégrales en physique
Les équations de la physique font souvent intervenir des expressions intégrales complexes. Voici trois exemples classiques avec leur syntaxe LaTeX complète.
Équations de Maxwell (forme intégrale)
\oint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}
Gauss's law for electric flux through a closed surface. Requires \oiint from esint for a double closed surface integral.
Fonction de partition de Boltzmann
Z = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\beta H(q,p)}\,dq\,dp
Fonction de partition de la mécanique statistique, intégrée sur toutes les coordonnées q et p de l'espace des phases.
Transformée de Fourier
\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-2\pi i x \xi}\,dx
Transforme un signal du domaine temporel vers le domaine fréquentiel. Le noyau exponentiel utilise le mode mathématique en ligne pour l'exposant.
Intégrales classiques — compilation en direct
Le playground est préchargé avec les exemples de Gauss, Dirichlet, Fresnel et du théorème de Gauss. Compilez instantanément avec pdfLaTeX.
\section{FAQ}